伯努利分布及计算公式（超详细）

伯努利分布（Bernoulli Distribution）是一种离散分布，在概率学中非常常用，有两种可能的结果：

• 1 表示成功，出现的概率为 p（其中 0<p<1）；
• 0 表示失败，出现的概率为 q=1-p。

这很好理解，除去成功都是失败，p 是成功的概率，概率 100% 减去 p 就是失败的概率。

伯努利分布是为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）（图 1）而命名的。这里值得一提的是伯努利家族。瑞士的伯努利家族（也译作贝努力）是一个很伟大的家族，一个家族 3 代人中产生了 8 位科学家，后裔有不少于 120 位被人们系统地追溯过，他们在数学、自然科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。

伯努利分布的分布律如下：

看上去像个分段函数是不是，它也可以写作：

这两个写法其实说的是一回事，你自己可以把 n=0 和 n=1 分别带进去算一算。

伯努利分布的应用需满足以下两个条件。

1. 各次试验中的事件是互相独立的，每一次 n=1 和 n=0 的概率分别为 p 和 q。
2. 每次试验都只有两种结果，即 n=0，或 n=1。

如果不满足这两个条件，则分布不是伯努利分布。

满足伯努利分布的样本有一个非常重要的性质，即满足下面公式：

我们解释一下这个公式的含义。

其中，X 指的是试验的次数，C_n^k 指的是组合，也就是：

这个公式表示，如果一个试验满足：

的伯努利分布，那么在连续试验 n 次的情况下，出现 n=1 的情况发生恰好 k 次的概率为：

其中，n=1 就是对应概率为 p 的情况。

下面用一个小例子来说明。例如，张三参加英语雅思考试，每次考试通过的概率为 1/3，不通过的概率为 2/3。如果他连续考试 4 次，那么恰好通过 2 次的概率为多少？

在这个例子里可以比较容易看到，P=1/3，n=4，k=2。代入公式：

因此概率为 8/27。

这个例子也可以用排列组合来计算。一共 4 次考试，2 次通过，一共有 6 种情况，如表 2 所示。

表 2 通过的情况

通过情况	第1次	第2次	第3次	第4次	通过情况	第1次	第2次	第3次	第4次
1	通过	通过	不通过	不通过	4	不通过	通过	通过	不通过
2	通过	不通过	通过	不通过	5	不通过	通过	不通过	通过
3	通过	不通过	不通过	通过	6	不通过	不通过	通过	通过

试着求每次的概率，情况 1，即第 1 次通过且第 2 次通过且第 3 次不通过且第 4 次不通过。这里千万不要漏掉后面两个条件，后面两次必须是不通过，否则条件就和公式不匹配了。

那么，第 1 次通过，概率为 1/3，第 2 次通过，概率为 1/3，第 3 次不通过，概率为 2/3，第 4 次不通过，概率为 2/3。这 4 个条件都发生的概率为：

同理，情况 2 到情况 6 的概率都是 4/81。所以最后的结果是：

结果是完全一样的。

对于满足伯努利分布的试验来说，用古典概型进行计算显得复杂和繁琐，尤其是 n 和 k 比较大的时候用古典概型来做就太不方便了。

伯努利分布的应用场景其实远比这个例子丰富，读者有兴趣可以再继续寻找其他题目试解。