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伯努利分布及计算公式(超详细)
伯努利分布(Bernoulli Distribution)是一种离散分布,在概率学中非常常用,有两种可能的结果:

图 1 雅各布·伯努利
伯努利分布是为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)(图 1)而命名的。这里值得一提的是伯努利家族。瑞士的伯努利家族(也译作贝努力)是一个很伟大的家族,一个家族 3 代人中产生了 8 位科学家,后裔有不少于 120 位被人们系统地追溯过,他们在数学、自然科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望,有的甚至声名显赫。
伯努利分布的分布律如下:
看上去像个分段函数是不是,它也可以写作:
这两个写法其实说的是一回事,你自己可以把 n=0 和 n=1 分别带进去算一算。
伯努利分布的应用需满足以下两个条件。
如果不满足这两个条件,则分布不是伯努利分布。
满足伯努利分布的样本有一个非常重要的性质,即满足下面公式:
我们解释一下这个公式的含义。
其中,X 指的是试验的次数,Cnk 指的是组合,也就是:
这个公式表示,如果一个试验满足:
的伯努利分布,那么在连续试验 n 次的情况下,出现 n=1 的情况发生恰好 k 次的概率为:
其中,n=1 就是对应概率为 p 的情况。
下面用一个小例子来说明。例如,张三参加英语雅思考试,每次考试通过的概率为 1/3,不通过的概率为 2/3。如果他连续考试 4 次,那么恰好通过 2 次的概率为多少?
在这个例子里可以比较容易看到,P=1/3,n=4,k=2。代入公式:
因此概率为 8/27。
这个例子也可以用排列组合来计算。一共 4 次考试,2 次通过,一共有 6 种情况,如表 2 所示。
试着求每次的概率,情况 1,即第 1 次通过且第 2 次通过且第 3 次不通过且第 4 次不通过。这里千万不要漏掉后面两个条件,后面两次必须是不通过,否则条件就和公式不匹配了。
那么,第 1 次通过,概率为 1/3,第 2 次通过,概率为 1/3,第 3 次不通过,概率为 2/3,第 4 次不通过,概率为 2/3。这 4 个条件都发生的概率为:
同理,情况 2 到情况 6 的概率都是 4/81。所以最后的结果是:
结果是完全一样的。
对于满足伯努利分布的试验来说,用古典概型进行计算显得复杂和繁琐,尤其是 n 和 k 比较大的时候用古典概型来做就太不方便了。
伯努利分布的应用场景其实远比这个例子丰富,读者有兴趣可以再继续寻找其他题目试解。
- 1 表示成功,出现的概率为 p(其中 0<p<1);
- 0 表示失败,出现的概率为 q=1-p。

图 1 雅各布·伯努利
伯努利分布是为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)(图 1)而命名的。这里值得一提的是伯努利家族。瑞士的伯努利家族(也译作贝努力)是一个很伟大的家族,一个家族 3 代人中产生了 8 位科学家,后裔有不少于 120 位被人们系统地追溯过,他们在数学、自然科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望,有的甚至声名显赫。
伯努利分布的分布律如下:

看上去像个分段函数是不是,它也可以写作:

这两个写法其实说的是一回事,你自己可以把 n=0 和 n=1 分别带进去算一算。
伯努利分布的应用需满足以下两个条件。
- 各次试验中的事件是互相独立的,每一次 n=1 和 n=0 的概率分别为 p 和 q。
- 每次试验都只有两种结果,即 n=0,或 n=1。
如果不满足这两个条件,则分布不是伯努利分布。
满足伯努利分布的样本有一个非常重要的性质,即满足下面公式:

我们解释一下这个公式的含义。
其中,X 指的是试验的次数,Cnk 指的是组合,也就是:

这个公式表示,如果一个试验满足:

的伯努利分布,那么在连续试验 n 次的情况下,出现 n=1 的情况发生恰好 k 次的概率为:

其中,n=1 就是对应概率为 p 的情况。
下面用一个小例子来说明。例如,张三参加英语雅思考试,每次考试通过的概率为 1/3,不通过的概率为 2/3。如果他连续考试 4 次,那么恰好通过 2 次的概率为多少?
在这个例子里可以比较容易看到,P=1/3,n=4,k=2。代入公式:

因此概率为 8/27。
这个例子也可以用排列组合来计算。一共 4 次考试,2 次通过,一共有 6 种情况,如表 2 所示。
通过情况 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 通过情况 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 |
1 | 通过 | 通过 | 不通过 | 不通过 | 4 | 不通过 | 通过 | 通过 | 不通过 |
2 | 通过 | 不通过 | 通过 | 不通过 | 5 | 不通过 | 通过 | 不通过 | 通过 |
3 | 通过 | 不通过 | 不通过 | 通过 | 6 | 不通过 | 不通过 | 通过 | 通过 |
试着求每次的概率,情况 1,即第 1 次通过且第 2 次通过且第 3 次不通过且第 4 次不通过。这里千万不要漏掉后面两个条件,后面两次必须是不通过,否则条件就和公式不匹配了。
那么,第 1 次通过,概率为 1/3,第 2 次通过,概率为 1/3,第 3 次不通过,概率为 2/3,第 4 次不通过,概率为 2/3。这 4 个条件都发生的概率为:

同理,情况 2 到情况 6 的概率都是 4/81。所以最后的结果是:

结果是完全一样的。
对于满足伯努利分布的试验来说,用古典概型进行计算显得复杂和繁琐,尤其是 n 和 k 比较大的时候用古典概型来做就太不方便了。
伯努利分布的应用场景其实远比这个例子丰富,读者有兴趣可以再继续寻找其他题目试解。