因子分解机FM算法原理及实现过程（超详细）

对于FM算法的求解，在前几章中，主要是利用了梯度下降法，在梯度下降法中，在每一个的迭代过程中，利用全部的数据进行模型参数的学习，对于数据量特别大的情况，每次迭代求解所有样本需要花费大量的计算成本。

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）

随机梯度下降算法在每次迭代的过程中，仅根据一个样本对模型中的参数进行调整。

随机梯度下降法的优化过程为：

基于随机梯度的方式求解

假设数据集中有m个训练样本，即 {X⁽¹⁾ ，X⁽²⁾，…，X^(m)}，每一个样本 X⁽ⁱ⁾ 有 n 个特征，即:
对于度为 2 的因子分解机 FM 模型，其主要的参数有一次项和常数项的参数 w₀ ，w₁ ，…，w_n 以及交叉项的系数矩阵 V。在利用随机梯度对模型的参数进行学习的过程中，主要是对损失函数:
求导数，即：
而
为：

FM算法流程

利用随机梯度下降法对因子分解机 FM 模型中的参数进行学习的基本步骤如下：

1) 初始化权重 w₀，w₁，…，w_n 和 V；

2) 对每一个样本：
对特征 i∈{1，…，n}：
对 f ∈{1，…，k}：
3) 重复步骤 2)，直到满足终止条件。

现在，让我们一起利用 Python 实现上述因子分解机 FM 的更新过程，首先，我们需要导入 numpy：

import numpy as np

利用随机梯度下降法训练因子分解机 FM 模型的参数的具体过程如下程序所示。

def stocGradAscent(dataMatrix, classLabels, k, max_iter, alpha):
    '''利用随机梯度下降法训练FM模型
    input:  dataMatrix(mat)特征
            classLabels(mat)标签
            k(int)v的维数
            max_iter(int)最大迭代次数
            alpha(float)学习率
    output: w0(float),w(mat),v(mat):权重
    '''
    m, n = np.shape(dataMatrix)
    # 1、初始化参数
    w = np.zeros((n, 1))  # 其中n是特征的个数
    w0 = 0  # 偏置项
    v = initialize_v(n, k)  # 初始化V
   
    # 2、训练
    for it in xrange(max_iter):
        for x in xrange(m):  # 随机优化，对每一个样本而言的
            inter_1 = dataMatrix[x] * v
            inter_2 = np.multiply(dataMatrix[x], dataMatrix[x]) *
             np.multiply(v, v)  # multiply对应元素相乘
            # 完成交叉项
            interaction = np.sum(np.multiply(inter_1, inter_1) - inter_2) / 2.
            p = w0 + dataMatrix[x] * w + interaction  # 计算预测的输出
            loss = sigmoid(classLabels[x] * p[0, 0]) - 1
       
            w0 = w0 - alpha * loss * classLabels[x]
            for i in xrange(n):
                if dataMatrix[x, i] != 0:
                    w[i, 0] = w[i, 0] - alpha * loss * classLabels[x] * dataMatrix[x, i]
                   
                    for j in xrange(k):
                        v[i, j] = v[i, j] - alpha * loss * classLabels[x] *
                        (dataMatrix[x, i] * inter_1[0, j] -
                          v[i, j] * dataMatrix[x, i] * dataMatrix[x, i])
       
        # 计算损失函数的值
        if it % 1000 == 0:
            print " ------- iter: ", it, " , cost: ",
            getCost(getPrediction(np.mat(dataMatrix), w0, w, v), classLabels)
   
    # 3、返回最终的FM模型的参数
    return w0, w, v

该程序中的 stocGradAscent 函数实现了对因子分解机 FM 模型的学习，stocGradAscent 函数的输入 dataMatrix 为特征，classLabels 为样本的标签，k 为 FM 模型的度，max_iter 为随机梯度下降法的最大迭代次数，alpha 为随机梯度下降法的学习率。stocGradAscent 函数的输出为模型中的权重，包括一次项和常数项的权重 w₀ ，w₁ ，…，w_n 以及交叉项的系数矩阵 V。

在程序中的 stocGradAscent 函数中，首先是初始化权重，其中在一次项和常数项的权重 w₀ ，w₁ ，…，w_n 的初始化过程中，使用了比较简单的策略，即全部初始化为 0。对交叉项系数矩阵的初始化过程中，使用的正态分布对其进行初始化，函数 initialize_v 的具体实现如下程序所示。

def initialize_v(n, k):
    '''初始化交叉项
    input:  n(int)特征的个数
            k(int)FM模型的超参数
    output: v(mat):交叉项的系数权重
    '''
    v = np.mat(np.zeros((n, k)))
   
    for i in xrange(n):
        for j in xrange(k):
            # 利用正态分布生成每一个权重
            v[i, j] = normalvariate(0, 0.2)
    return v

initialize_v 函数实现了对交叉项的权重进行初始化，initialize_v 函数的输入为特征的个数 n 和 FM 模型的度 k，其输出为交叉项的权重 v。在初始化的过程中，使用了正态分布对权重矩阵 V 中的每一个值生成随机数，为了能够使用正态分布对权重进行初始化，我们需要导入 normalvariate 函数：

from random import normalvariate #正态分布

在初始化完所有模型参数后，利用每一个样本对其参数进行学习，并对常数项权重 w₀、一次项权重 w_i、交叉项的系数矩阵进行修正。sigmoid 函数的具体实现如下所示：

def sigmoid(inx):
    return 1.0 / (1 + np.exp(-inx))

在每完成 1000 次迭代后，计算当前的损失函数的值，函数 getCost 的具体实现如下程序所示。

def getCost(predict, classLabels):
    '''计算预测准确性
    input:  predict(list)预测值
            classLabels(list)标签
    output: error(float)计算损失函数的值
    '''
    m = len(predict)
    error = 0.0
    for i in xrange(m):
        error -=  np.log(sigmoid(predict[i] * classLabels[i] )) 
    return error

函数 getCost 用于计算当前的损失函数的值，函数的输入是利用当前的 FM 模型对数据集的预测结果 predict 和样本的标签 classLabels，最终得到当前的损失函数值 error。