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向量的内积，向量的长度计算，向量的正交性

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设有 n 维向量：

令：

则 [x，y] 称为向量 x 与 y 的内积。

内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当 x 与 y 都是列向量时，有：

内积具有下列性质（其中 x，y，z 为 n 维向量，λ 为实数）：

[x,y]=[y,x]；
[λx,y]=λ[x,y]；
[x+y,z]=[x,z]+[y,z]；
当 x=0 时，[x,x]=0；当 x≠0 时，[x,x]>0。

这些性质可根据内积定义直接证明。利用这些性质，还可证明施瓦茨（Schwarz）不等式（这里不证）：

在解析几何中，我们曾引进向量的数量积：

且在直角坐标系中，有数量积的计算公式：

向量的长度

n 维向量的内积是数量积的一种推广，但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角，令：

||x|| 称为 n 维向量 x 的长度（或范数）。

向量的长度具有下述性质：

非负性：当 x≠0 时，||x||>0；当 x=0 时，||x||=0；
齐次性：||λx|| = |λ|||x||；

可见这里所定义的向量长度具有解析几何中向量长度的基本属性。

当 ||x||=1 时，称 x 为单位向量。若 a≠0，取：

则 x 是一个单位向量。由向量 a 得到 x 的过程称为把向量 a 单位化。

由施瓦茨不等式，有：

于是有这样的定义，即当 x≠0、y≠0 时：

称为 n 维向量 x 与 y 的夹角。

当 [x,y]=0 时，称向量 x 与 y 正交。显然，若 x=0，则 x 与任何向量都正交。

正交性

下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。若 n 维向量 a₁，a₂，...，a_r 是一组两两正交的非零向量，则 a₁，a₂，…，a_r 线性无关。

证：设有 λ₁，λ₂，...，λ_r 使：

以 a₁ 与上式两端作内积，因当 i≥2 时，[a₁，a_i] =0，故得：

因 a₁≠0，故 [a₁,a₁]=||a₁||²≠0。从而必有 λ₁=0。类似可证 λ₂=0，…，λ_r=0。于是向量组 a₁，a₂，...，a_r 线性无关。

【例1】已知 3 维向量空间 R³ 中两个向量：

正交，试求一个非零向量 a₃，使 a₁，a₂，a₃ 两两正交。

解：记：

a₃ 应满足齐次线性方程 Ax=0，即：

由：

得：

从而有基础解系：

取:

即合所求。

设 n 维向量 e₁，e₂，...，e_r 是向量空间 V（V⊆Rn）的一个基，如果 e₁，...，e_r 两两正交，且都是单位向量，则称 e₁，...，e_r 是 V 的一个标准正交基。例如：

就是 R⁴ 的一个标准正交基。

若 e₁，...，e_r 是 V 的一个标准正交基，那么 V 中任一向量 a 应能由 e₁，...，e_r 线性表示，设表示式为：

为求其中的系数 λ_i(i=1，...，r)，可用 e₁^T 左乘上式，有：

即：

这就是向量在标准正交基中的坐标的计算公式。利用这个公式能方便地求得向量的坐标，因此，我们在给向量空间取基时常常取标准正交基。

设 a₁，...，a_r 是向量空间 V 的一个基，要求 V 的一个标准正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 e₁，...，e_r，使 e₁，...，e_r 与 a₁，...，a_r 等价。这样一个问题，称为把基 a₁，...，a_r 标准正交化。

我们可以用以下办法把 a₁，...，a_r 标准正交化，取：

容易验证 b₁，...，b_r 两两正交，且 b₁，...，b_r 与 a₁，...，a_r 等价。

然后把它们单位化，即取：

就是 V 的一个标准正交基。

上述从线性无关向量组 a₁，...，a_r 导出正交向量组 b₁，...，b_r 的过程称为施密特（Schmidt）正交化。它不仅满足 b₁，...，b_r 与 a₁，...，a_r 等价，还满足：对任何 k(1≤k≤r)，向量组 b₁，...，b_k 与 a₁，...，a_k 等价。

【例 2】 已知：