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    向量的内积,向量的长度计算,向量的正交性

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    设有 n 维向量:


     
    令:


    则 [x,y] 称为向量 x 与 y 的内积

    内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,用矩阵记号表示,当 x 与 y 都是列向量时,有:


     
    内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量,λ 为实数):
    • [x,y]=[y,x];
    • [λx,y]=λ[x,y];
    • [x+y,z]=[x,z]+[y,z];
    • 当 x=0 时,[x,x]=0;当 x≠0 时,[x,x]>0。
    这些性质可根据内积定义直接证明。利用这些性质,还可证明施瓦茨(Schwarz)不等式(这里不证):


     
    在解析几何中,我们曾引进向量的数量积:


     
    且在直角坐标系中,有数量积的计算公式:

    向量的长度

    n 维向量的内积是数量积的一种推广,但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并且反过来,利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角,令:


     
    ||x|| 称为 n 维向量 x 的长度(或范数)。

    向量的长度具有下述性质:
    • 非负性:当 x≠0 时,||x||>0;当 x=0 时,||x||=0;
    • 齐次性:||λx|| = |λ|||x||;
    可见这里所定义的向量长度具有解析几何中向量长度的基本属性。

    当 ||x||=1 时,称 x 为单位向量。若 a≠0,取:


     
    则 x 是一个单位向量。由向量 a 得到 x 的过程称为把向量 a 单位化

    由施瓦茨不等式,有:


     
    于是有这样的定义,即当 x≠0、y≠0 时:


     
    称为 n 维向量 x 与 y 的夹角

    当 [x,y]=0 时,称向量 x 与 y 正交。显然,若 x=0,则 x 与任何向量都正交。

    正交性

    下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量。若 n 维向量 a1,a2,...,ar 是一组两两正交的非零向量,则 a1,a2,…,ar 线性无关。

    证:设有 λ1,λ2,...,λr 使:


     
    以 a1 与上式两端作内积,因当 i≥2 时,[a1,ai] =0,故得:


     
    因 a1≠0,故 [a1,a1]=||a1||2≠0。从而必有 λ1=0。类似可证 λ2=0,…,λr=0。于是向量组 a1,a2,...,ar 线性无关。

    【例1】已知 3 维向量空间 R3 中两个向量:


     
    正交,试求一个非零向量 a3,使 a1,a2,a3 两两正交。

    解:记:


     
    a3 应满足齐次线性方程 Ax=0,即:


     
    由:


     
    得:


     
    从而有基础解系:


     
    取:


     
    即合所求。

    设 n 维向量 e1,e2,...,er 是向量空间 V(V⊆Rn)的一个基,如果 e1,...,er 两两正交,且都是单位向量,则称 e1,...,er 是 V 的一个标准正交基。例如:


     
    就是 R4 的一个标准正交基。

    若 e1,...,er 是 V 的一个标准正交基,那么 V 中任一向量 a 应能由 e1,...,er 线性表示,设表示式为:


     
    为求其中的系数 λi(i=1,...,r),可用 e1T 左乘上式,有:


     
    即:


     
    这就是向量在标准正交基中的坐标的计算公式。利用这个公式能方便地求得向量的坐标,因此,我们在给向量空间取基时常常取标准正交基。

    设 a1,...,ar 是向量空间 V 的一个基,要求 V 的一个标准正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量 e1,...,er,使 e1,...,er 与 a1,...,ar 等价。这样一个问题,称为把基 a1,...,ar 标准正交化。

    我们可以用以下办法把 a1,...,ar 标准正交化,取:

     







     
    容易验证 b1,...,br 两两正交,且 b1,...,br 与 a1,...,ar 等价。

    然后把它们单位化,即取:


     
    就是 V 的一个标准正交基。

    上述从线性无关向量组 a1,...,ar 导出正交向量组 b1,...,br 的过程称为施密特(Schmidt)正交化。它不仅满足 b1,...,br 与 a1,...,ar 等价,还满足:对任何 k(1≤k≤r),向量组 b1,...,bk 与 a1,...,ak 等价。

    【例 2】 已知:


     
    求一组非零向量 a2,a3 使 a1,a2,a3 两两正交。

    解:a2,a3 应满足方程 a1Tx=0,即:x1+x2+x3=0,它的基础解系为:


     
    把基础解系正交化,亦即取:




    因 a2,a3 是 ξ1,ξ2 的线性组合,故它们仍与 a1 正交,于是 a2,a3 即合所求。

    正交矩阵

    如果 n 阶矩阵 A 满足:


    那么称 A 为正交矩阵,简称正交阵。上式用 A 的列向量表示,即是:


     
    这也就是 n2 个关系式:


     
    这就说明:方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量,且两两正交。

    因为与 ATA=E 与 AAT=E 等价,所以上述结论对 A 的行向量亦成立。由此可见,n 阶正交矩阵 A 的 n 个列(行)向量构成向量空间 Rn 的一个标准正交基。

    正交矩阵有下述性质:
    1. 若 A 为正交矩阵,则 A-1=AT 也是正交矩阵,且 |A|=1 或(-1);
    2. 若 A 和 B 都是正交矩阵,则 AB 也是正交矩阵。
    这些性质都可根据正交矩阵的定义直接证得。

    【定义】若 P 为正交矩阵,则线性变换 y=Px 称为正交变换

    设:y=Px 为正交变换,则有:


     
    由于 ||x|| 表向量的长度,相当于线段的长度,因此 ||y||=||x|| 说明经正交变换线段长度保持不变(从而三角形的形状保持不变),这是正交变换的优良特性。
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