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    方阵的特征值与特征向量(实例分析及讲解)

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    工程技术中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题,也都要用到特征值的理论。

    设 A 是 n 阶矩阵,如果数 λ 和 n 维非零列向量 x 使关系式(公式一)


     
    成立,那么,这样的数 λ 称为矩阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A 的对应于特征 λ 的待征向量

    公式一也可以写成:


     
    这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式:


     
    即:


     
    上式是以 λ 为未知数的一元 n 次方程,称为矩阵 A 的特征方程,其左端 |A-λE| 是 λ 的 n 次多项式,记作f(λ),称为矩阵 A 的特征多项式。显然,A 的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数 (重根按重数计算),因此,n 阶矩阵 A 在复数范围内有 n 个特征值。

    设 n 阶矩阵 A=(aij) 的特征值为 λ1,λ2,...,λn,不难证明:
    1. λ12+...+λn=a11+a22+...+ann
    2. λ1λ2...λn=|A|;
    由第 2 条可知,A 是可逆矩阵的充分必要条件是它的 n 个特征值全不为零。

    设 λ=λi 为矩阵 A 的一个特征值,则由方程:


     
    可求得非零解 x=pi,那么 pi 便是 A 的对应于特征值 λi 的特征向量。(若 λi 为实数,则 pi 可取实向量;若 λi 为复数,则 pi 为复向量。)

    【例1】求矩阵:


     
    的特征值和特征向量。

    解:  A 的特征多项式为:


     
    所以 A 的特征值为 λ1=2,λ2=4。

    当 λ1=2 时,对应的特征向量应满足:


     
    即:


     
    解得 x1=x2,所以对应的特征向量可取为:


     
    当 λ2=4 时,由:


     
    即:


     
    解得 x1=-x2,所以对应的特征向量可取为:


     
    显然,若 pi 是矩阵 A 的对应于特征值 λi 的特征向量,则 kpi(k≠0) 也是对应于 λi 的特征向量。

    【例 2】设 λ 是方阵 A 的特征值,证明:
    1. λ2 是 A2 的特征值;
    2. 当 A 可逆时,1/λ 是 A-1 的特征值。
    证:因 λ 是 A 的特征值,故有 p≠0 使 Ap=λp。于是:
    • 因为 A2p=A(Ap)=A(λp)=λ(Ap)=λ2p,所以 λ2 是 A2 的特征值。
    • 当 A 可逆时,由 Ap=λp,有 p=λA-1p,因 p≠0,知 λ≠0,故:

    所以 1/λ 是 A-1 的特征值。

    按此例类推,不难证明:若 λ 是 A 的特征值,则 λk 是 Ak 的特征值;φ(λ) 是 φ(A) 的特征值(其中 φ(λ)=a0+a1λ+...+amλm是 λ 的多项式,φ(A)=a0E+a1A+...+amAm 是矩阵 A 的多项式)。这是特征值的一个重要性质。

    下面介绍特征向量的一些性质。

    【定理】设 λ1,λ2,...,λm 是方阵 A 的 m 个特征值,p1,p2,pm 依次是与之对应的特征向量。如果 λ1,λ2,...,λm 各不相等,则 p1,p2,...,pk-1 线性无关。

    证:用数学归纳法。当 m=1 时,因特征向量 p1≠0,故只含一个向量的向量组 p1 线性无关。

    假设当 m=k-1 时结论成立,要证当 m=k 时结论也成立。即假设向量组 p1,p2,...,pk-1 线性无关,要证向量组 p1,p2,...,pk 线性无关。为此,设有(公式二)


     
    用 A 左乘上式,得:


     
    (公式三)


     
    公式三减去公式二的 λk 倍,得:


     
    按归纳假设 p1,p2,...,pk-1 线性无关,故 xiik)=0(i=1,2,...,k-1)。而 xiik)=0(i=1,2,...,k-1),于是得 xi=0(i=1,2,...,k-1),代入公式二得 xkpk=0,而 pk≠0,得 xk=0。因此,向量组 p1,p2,...,pk 线性无关。

    推论:设 λ1 和 λ2 是方阵 A 的两不同特征值,ξ1,ξ2,...,ξt 和 η1,η2,...,ηt 分别是对应于 λ1 和 λ2 的线性无关的特征向量,则 ξ1,ξ2,...,ξt,η1,η2,...,ηt 线性无关。

    上述推论表明:对应于两个不同特征值的线性无关的特征向量组,合起来仍是线性无关的。这一结论对 m(≥2)个特征值的情形也成立。

    【例 3】设 λ1 和 λ2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量依次为 p1 和 p2,证明 p1+p2 不是 A 的特征向量。

    证:按题设,有 Ap11p1,Ap22p2,故:


     
    用反证法,假设 p1+p2 是 A 的特征向量,则应存在数 λ,使 A(p1+p2)=λ(p1+p2),于是:


     
    即:


     
    因 λ1≠λ2,按定理知 p1,p2 线性无关,故由上式得 λ1-λ=λ2-λ=0,即 λ12,与题设矛盾。因此 p1+p2 不是 A 的特征向量。
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