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    余子式和代数余子式及其推论详解

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    在解行列式的时候,很明显能感觉到:2 阶行列式要比 3 阶行列式简单,即低阶行列式的计算要比高阶行列式的计算简单。

    那有没有什么方法用低阶行列式来表示高阶行列式呢?在解决这个问题之前,要先学习有关余子式和代数余子式的概念。

    余子式

    在 n 阶行列式中,当我们尝试把(i,j)元 aij 的第 i 行和第 j 列“划去”后,剩下的 n – 1 阶行列式就叫做(i,j)元 aij 的余子式(记作 Mij

    例如,如下的 3 阶行列式:
    若将(2,2)元 a22 所在的第 2 行和第 2 列划去后,3 阶行列式就变为了 2 阶行列式,如下图所示:
    上图中的右侧行列式即为 a22 的余子式,用 M22 表示注意:只是 a22 的,其他元素的余子式也是如此“划”)

    代数余子式

    在余子式的基础上,我们再对其进行加工:
    上式的 Aij 就叫做(i,j)元 aij 的代数余子式。
    例如,我们继续对上式的余子式求 a22 的代数余子式,根据公式,a22 的代数余子式为:
    了解了余子式与代数余子式的概念之后,我们学习如何将高阶行列式转换成低阶行列式

    定理一

    定理:一个 n 阶行列式,如果其中第 i 行所有元素除(i,j)元 aij 外都为 0 ,那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积。用式子表示为:

    我们通过实例来说明此定理如何应用,例如,计算如下行列式的值:

    在解行列式之前,我们先来观察此行列式的特点,其第一行中,除了 a11 = 2,其它元素的值都是 0 ,符合我们定理一的特点,所以我们对将该 3 阶行列式转换成更低阶行列式:

    而上式中的 A11 的值为:

    所以,最终行列式 D 就可以转换为二阶行列式同一个数的乘积的形式:

    定理二

    定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。用式子表示为:


    此定义又被称为:行列式按行(列)展开法则。利用此法则,再结合行列式的性质,就可以简化行列式的计算,即实现将高阶行列式转化为低阶行列式。
    提示:该定理可同定理一一起理解,当某一行只有一个元素非 0 时,其它元素乘以其各自的代数余子式的值最终肯定为 0,所以行列式就等于此非 0 元素值乘以它的代数余子式。
    由此定理,还可以得出一个重要的结论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。用式子表示为:

    提示:式子中的i 和j 不能相等。

    证明:

    通过定理 3 得知,行列式可以按照行或列展开,例如按某一行展开,如下所示:
    提示:由于 i 和j不相等,所以行列式按第 j 行展开时,行列式中肯定会存在第 i 行。
    而推论中将式子里所有的 ajk 都换成了 aik(k 表示从 1 到 n),所以推论中的式子转换成行列式,如下所示:
    如上图所示,行列式中有两行完全相同,有行列式的性质得知,此行列式的值为 0。

    例题分析

    设:

    令 D 的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记为 Mij 和Aij,求:
    (1) A11 + A12 + A13 + A14 的值
    (2) M11 + M21 + M31 + M41 的值

    分析:

    第一问:此式子是第一行所有代数余子式的和,而当我们将行列式正常按照第一行进行展开,得到的式子是:D = 3*A11 + -5*A12 + 2*A13 + 1*A14,而第一问略去了各自的系数。我们可以通过改变行列式的第一行的所有值,将其都改为 1,就是第一问的答案,如下图所示:


     
    第二问:此式子是第一列所有余子式的和,有了第一问的经验,我们可以将第一列也都置为 1 ,但是此时你会发现,A11 + A21 + A31 + A41 = M11 - M21 + M31 – M41,不过没关系,我们可以将 a21 和 a41 置为 -1 ,即可解决这个问题。所以,第二问对应的行列式为:


     
    通过分析,此题的两问就转换成了解行列式,解行列式的过程很简单,这里不再赘述。
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