余子式和代数余子式及其推论详解

在解行列式的时候，很明显能感觉到：2 阶行列式要比 3 阶行列式简单，即低阶行列式的计算要比高阶行列式的计算简单。

那有没有什么方法用低阶行列式来表示高阶行列式呢？在解决这个问题之前，要先学习有关余子式和代数余子式的概念。

余子式

在 n 阶行列式中，当我们尝试把（i，j）元 a_ij 的第 i 行和第 j 列“划去”后，剩下的 n – 1 阶行列式就叫做（i，j）元 a_ij 的余子式（记作 M_ij）。

例如，如下的 3 阶行列式： 若将（2，2）元 a₂₂ 所在的第 2 行和第 2 列划去后，3 阶行列式就变为了 2 阶行列式，如下图所示： 上图中的右侧行列式即为 a₂₂ 的余子式，用 M₂₂ 表示（注意：只是 a₂₂ 的，其他元素的余子式也是如此“划”）。

代数余子式

在余子式的基础上，我们再对其进行加工： 上式的 A_ij 就叫做（i，j）元 a_ij 的代数余子式。 例如，我们继续对上式的余子式求 a₂₂ 的代数余子式，根据公式，a₂₂ 的代数余子式为： 了解了余子式与代数余子式的概念之后，我们学习如何将高阶行列式转换成低阶行列式。

定理一

定理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除（i，j）元 a_ij 外都为 0 ，那么这行列式等于 a_ij 与它的代数余子式的乘积。用式子表示为：
我们通过实例来说明此定理如何应用，例如，计算如下行列式的值：
在解行列式之前，我们先来观察此行列式的特点，其第一行中，除了 a₁₁ = 2，其它元素的值都是 0 ，符合我们定理一的特点，所以我们对将该 3 阶行列式转换成更低阶行列式：
而上式中的 A₁₁ 的值为：
所以，最终行列式 D 就可以转换为二阶行列式同一个数的乘积的形式：

定理二

定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。用式子表示为：
此定义又被称为：行列式按行（列）展开法则。利用此法则，再结合行列式的性质，就可以简化行列式的计算，即实现将高阶行列式转化为低阶行列式。

提示：该定理可同定理一一起理解，当某一行只有一个元素非 0 时，其它元素乘以其各自的代数余子式的值最终肯定为 0，所以行列式就等于此非 0 元素值乘以它的代数余子式。

由此定理，还可以得出一个重要的结论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。用式子表示为：

提示：式子中的i 和j 不能相等。

证明：

通过定理 3 得知，行列式可以按照行或列展开，例如按某一行展开，如下所示：

提示：由于 i 和j不相等，所以行列式按第 j 行展开时，行列式中肯定会存在第 i 行。

而推论中将式子里所有的 a_jk 都换成了 a_ik（k 表示从 1 到 n），所以推论中的式子转换成行列式，如下所示： 如上图所示，行列式中有两行完全相同，有行列式的性质得知，此行列式的值为 0。

例题分析

设：
令 D 的（i，j）元的余子式和代数余子式依次记为 M_ij 和A_ij，求：
（1） A₁₁ + A₁₂ + A₁₃ + A₁₄ 的值
（2） M₁₁ + M₂₁ + M₃₁ + M₄₁ 的值

分析：

第一问：此式子是第一行所有代数余子式的和，而当我们将行列式正常按照第一行进行展开，得到的式子是：D = 3*A₁₁ + -5*A₁₂ + 2*A₁₃ + 1*A₁₄，而第一问略去了各自的系数。我们可以通过改变行列式的第一行的所有值，将其都改为 1，就是第一问的答案，如下图所示： 第二问：此式子是第一列所有余子式的和，有了第一问的经验，我们可以将第一列也都置为 1 ，但是此时你会发现，A₁₁ + A₂₁ + A₃₁ + A₄₁ = M₁₁ - M₂₁ + M₃₁ – M₄₁，不过没关系，我们可以将 a₂₁ 和 a₄₁ 置为 -1 ，即可解决这个问题。所以，第二问对应的行列式为： 通过分析，此题的两问就转换成了解行列式，解行列式的过程很简单，这里不再赘述。