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    范德蒙行列式详解

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    范德蒙行列式,全称:范德蒙德行列式。专门用于处理具有如下特征的行列式:
    当遇到类似于上式的行列式时,我们就可以使用范德蒙行列式直接计算此行列式的值。具有上式特征的行列式的值为:

    上式表示:行列式 D 的值为所有的 (xi – xj)的乘积(其中 i > j)。例如,如果 n 的值为 3,即行列式由 x1、x2、x3组成,则行列式 D 的值为:(x3-x1)(x2-x1)(x3-x2)。

    证明范德蒙行列式

    通过观察范德蒙行列式,拿行列式的第一列来说,相邻的两个元素,上面的元素比下面的元素少乘一次 x1

    根据这一特征,我们可以试着从第 n 行开始,每个元素都减去前一行元素的 x1,行列式就变为:


     
    可见,第一列除了第一行的元素没变,其它都变为了 0。如下图所示:


    不仅如此,每一列的各元素(除了第一行的元素)都可提取出相同的元素:


     
    对于上方的行列式 D,我们可以将其转化为更低阶行列式,即提取第一行第一列,则此行列式又变成:


     
    不仅如此,我们还可以看到,每一列都有相同的元素,完全可以提到行列式的外面:


     
    此时,大家看行列式 D 中包含的低阶行列式,其特征和刚开始的高阶行列式 D 完全相同。

    所以接下来继续使用刚开始的方法:从第 n-1 行开始,每个元素都减去前一行元素的 x2 倍...,如此循环,直至行列式化为数值 1。通过对第一轮的简化,我们看到,最终简化为了 xi – x1,其中 i 比 1 大。

    所以,经过不断地简化行列式,可以提取出 xi-x2(i>2)、xi-x3(i>3)、…,也就是如下的式子:
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