克拉默法则详解

克拉默法则，用于解具有 n 个线性方程的方程组，如下所示： 此线性方程组的解，可以用克拉默法则直接求出：若线性方程组的系数行列式不等于 0 ，即： 则方程组的解可用行列式来表示：

其中 D_j（j = 1，2，…，n）是把系数行列式 D 中第 j 列的所有元素，依次用方程组右端的常数项 b_j 来代替，最终得到的 D_j。

克拉默法则实例

解线性方程组
解：
使用克拉默法则解方程组之前，首先判断：
D 的值不为 0，所以可以使用克拉默法则求方程组的解。其中 D₁、D₂、D₃、D₄ 的值各为： 由克拉默法则，可得： 通过克拉默法则还可得出以下几个定理：

1. 如果线性方程组的系数行列式 D 不等于0，则线性方程组一定有解，且有唯一解。
2. 如果线性方程组无解或者有两个不同的解，则它的系数行列式必为 0。

齐次和非齐次线性方程组

同时，当线性方程组中的 b₁、b₂、…、b_n全为 0 时，线性方程组又被称为齐次线性方程组；反之，b₁到b_n 不全为 0 时，则为非齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组来说，一定存在零解（即 x₁ 到 x_n 的值全是 0），但不一定有非 0 解（即 x 的值不全为 0 的解）。

当我们把上面两个定理应用到齐次线性方程组中时，还可得到有关齐次线性方程组的两个定理：

1. 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 不等于 0，则齐次线性方程组没有非0 解。
2. 如果齐次线性方程组有非 0 解，则它的系数行列式必为 0。