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    克拉默法则详解

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    克拉默法则,用于解具有 n 个线性方程的方程组,如下所示:


     
    此线性方程组的解,可以用克拉默法则直接求出:若线性方程组的系数行列式不等于 0 ,即:

    则方程组的解可用行列式来表示:
    其中 Dj(j = 1,2,…,n)是把系数行列式 D 中第 j 列的所有元素,依次用方程组右端的常数项 bj 来代替,最终得到的 Dj

    克拉默法则实例

    解线性方程组

    解:
    使用克拉默法则解方程组之前,首先判断:

    D 的值不为 0,所以可以使用克拉默法则求方程组的解。其中 D1、D2、D3、D4 的值各为:

    由克拉默法则,可得:


     
    通过克拉默法则还可得出以下几个定理:
    1. 如果线性方程组的系数行列式 D 不等于0,则线性方程组一定有解,且有唯一解。
    2. 如果线性方程组无解或者有两个不同的解,则它的系数行列式必为 0。

    齐次和非齐次线性方程组

    同时,当线性方程组中的 b1、b2、…、bn全为 0 时,线性方程组又被称为齐次线性方程组反之,b1到bn 不全为 0 时,则为非齐次线性方程组

    对于齐次线性方程组来说,一定存在零解(即 x1 到 xn 的值全是 0),但不一定有非 0 解(即 x 的值不全为 0 的解)。

    当我们把上面两个定理应用到齐次线性方程组中时,还可得到有关齐次线性方程组的两个定理:
    1. 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 不等于 0,则齐次线性方程组没有非0 解。
    2. 如果齐次线性方程组有非 0 解,则它的系数行列式必为 0。
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