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    什么是二阶行列式?

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    二阶行列式,用于快速解二元线性方程组。例如,下面这个二元线性方程组:



    对于此方程组,在未学行列式之前,解方程组最常用的方法就是消元法。具体步骤为:

    为了消去一个未知数,可以给第一个式子左右统一乘上 a22,同时也给第二个式子统一乘上 a12.,此时方程组变为:

     
    此时可见,两式子中的 x2 的系数相同,此时可用第一个式子减去第二个式子,就可消去 x2 ,二元线性方程组就变为了一元一次线性方程,如下所示:
    (a22a11 - a12a21)x1=a22b1 - a12b2
     
    此时就可以求出 x1(同理,也可以求出 x2),当 a22a11 - a12a21 ≠ 0 时,方程组的解为:
     

    对于二元线性方程组的两个值,我们可以直接二阶行列式来表示,表示方法是:

    首先,两个值的分母是相同的,都是 a11a22 - a12a21 ,此式子由方程组 x 的 4 个系数组成的,当我们把这 4 个系数按照它们在方程组中的问题提取出来时(4个系数的相对位置不变),排列成 2 行 2 列,如下所示:
    在此基础上,给其左右各添加一条竖线,如下图所示;
    这就是用于表示 a11a22 - a12a21 这个式子的二阶行列式。其行列式中的每个数字称为行列式的元素或者

    对于行列式中的每个 aij 来说,下标 i 表示为行标,表示该元素位于行列式的第 i 行;同理,下标 j 表示为列标,表示该元素位于行列式中的第 j 列。

    那么,图 2 中的行列式是如何等价于 a11a22 - a12a21 这个式子的呢?

    其实,每个行列式都唯一对应一个式子,如果我们想将一个行列式转换成普通式子,就需要使用对角线法则来实现。

    拿上方的二阶行列式为例,有两条对角线,一条为从 a11 到 a22 的对角线,另一条为从 a21 到 a12的对角线,如下图所示:
    如上图所示,二阶行列式中的实线称为主对角线,虚线称为副对角线,二阶行列式转换成普通式子,即将主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素之积,二阶行列式的值也就是式子最终得到的差。

    分子转为行列式

    通过以上的分析,我们实现了将二元线性方程组两个解的分母用二阶行列式表示,接下来,我们要将分子也用行列式来表示。

    利用分母转化为二阶行列式的方法,我们将  x1 的分子 a22b1 - a12b2 转化为行列式的过程为:

    1、由于式子中涉及到了 4 个系数(b1  和 b2 可看做指数为 0 的 x 的系数),我们将这 4 个系数按照在方程组中的位置提取出来,然后左右各添加一条竖线,如下图所示:
    根据对角线法则可以断定,此行列式就等于 a22b1 - a12b2 。同理,x2  的分子 a11b2 - a21b1 用行列式表示为:
    提示:两个分子的行列式其实都和方程组等号右侧的值有关,只不过一个解是用这两个值取代分母行列式的第一列,另一个解是取代分母行列式的第二列。

    例题实战

    求解二元线性方程组:

    解题过程:

    采用二阶行列式表示两个解,首先判断两个解的分母是否为0(0不能作为分数的分母),由于:
    此值不为0,所以可以用二阶行列式的方式求解。该二元线性方程组的解为:
         
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