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n阶行列式的定义
为了给出 n 阶行列式的定义，我们先来研究三阶行列式的结构。
三阶行列式定义为
总之，三阶行列式可以写成如下这种形式：
作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并冠以符号 (-1)t，得到形如：
称为 n 阶行列式，记做：
三阶行列式定义为
图1 三阶行列式的定义
从图 1 中，我们可以看出:
- 其普通表达式中，每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列。因此，任一项除正负号外都可以写成 a1p1a2p2a3p3 这种形式。
这里第一个下标(行标)排成标准次序 123，而第二个下标(列标)排成 p1p2p3，它是 1，2，3 三个数的某个排列。这样的排列共有 6 种，对应图 1 右端共含 6 项。
- 各项的正负号与列标的排列对照，带正号的三项列标排列是 123，231，312；带负号的三项列标排列是 132，213，321。
经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。因此各项所带的正负号可以表示为：(- 1)t，其中 t 为列标排列的逆序数。
总之，三阶行列式可以写成如下这种形式：
仿此，可以把行列式推广到一般情形：定义设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表，如下图所示：提示：其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数
由于这样的排列共有 n！ 个，因而形如上图所示的式子共有 n！ 项，.所有这 n！ 项的代数和为：其中 p1p2…pn 为自然数 1,2，…，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。
其中 aij 为行列式 D 的（i，j）元。当 n = 1 时，一阶行列式就等于其中的元。