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    n阶行列式的定义

    为了给出 n 阶行列式的定义,我们先来研究三阶行列式的结构。

    三阶行列式定义为
    图1 三阶行列式的定义
    从图 1 中,我们可以看出:
    • 其普通表达式中,每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素位于不同的行、不同的列。因此,任一项除正负号外都可以写成 a1p1a2p2a3p3 这种形式。
    这里第一个下标(行标)排成标准次序 123,而第二个下标(列标)排成 p1p2p3,它是 1,2,3 三个数的某个排列。这样的排列共有 6 种,对应图 1 右端共含 6 项。
    • 各项的正负号与列标的排列对照,带正号的三项列标排列是 123,231,312;带负号的三项列标排列是 132,213,321。
    经计算可知前三个排列都是偶排列,而后三个排列都是奇排列。因此各项所带的正负号可以表示为:(- 1)t,其中 t 为列标排列的逆序数。

    总之,三阶行列式可以写成如下这种形式:
    提示:其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数
    仿此,可以把行列式推广到一般情形:定义设有 n2 个数,排成 n 行 n 列的数表,如下图所示:
    作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积,并冠以符号 (-1)t,得到形如:
    其中 p1p2…pn 为自然数 1,2,…,n 的一个排列,t 为这个排列的逆序数。
    由于这样的排列共有 n! 个,因而形如上图所示的式子共有 n! 项,.所有这 n! 项的代数和为:
    称为 n 阶行列式,记做:
    其中 aij 为行列式 D 的(i,j)元。当 n = 1 时,一阶行列式就等于其中的元