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    行列式对换(相邻对换)的性质定理

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    本节来讨论行列式的对换以及对换与排列的奇偶性的关系

    行列式的对换

    在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手段叫做对换

    在对换中,将相邻的两个元素对换,被称为相邻对换

    定理一及其证明

    一个排列中的任意两个元素对换,排列都会改变其奇偶性。

    证:
    首先,以相邻对换为例,设有一排列:a1a2…aiabb1b2…bm,当我们试图将其中的元素 a 与 b进行对换(互换位置),即原排列变为一个新的排列:a1a2…aibab1b2…bm。

    显然,对于这个新排列中,除了元素 a 和 b 之外的其它元素,它们的逆序数并不会因为 a 和b 的对换而改变。

    而 a,b 两元素的逆序数改变为:当 a < b 时,经对换后 a 的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变;反之,当 a > b 时,经对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆序数减少 1。

    所以,原排列与进行过一次相邻对换产生的新排列的奇偶性不同

    接下来,我们再来证明一般情况下的普通对换。其实,一个排列中,两元素的普通对换,我们可以把它看做是,两个元素经过了 n 次相邻对换。

    例如排列 a1…alab1…bmbc1….cn,当我们将其中的元素 b 做 m 次相邻对换,就会变为 a1…alabb1…bmc1…cn,然后再对其中的元素 a 做 m+1 次相邻对换,排列就会变为:a1…albb1…bmac1…cn。

    原排列经过了 2m+1 次相邻对换,所以这两个排列的奇偶性相反。

    推论及其证明

    奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

    证:
    由定理一知,对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数
    为0)。因此知推论成立。

    定理二及其证明

    n 阶行列式也可定义为如下的形式:
    其中 t 为行标排列 p1p2…pn 的逆序数。

    证:


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