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    行列式的性质

    理解并记住行列式的性质,有助于大家更快的解决行列式计算的问题,提高解题速度。

    性质 1

    行列式性质:行列式与它的转置行列式相等。

    在证明性质 1 之前,我们首先需要了解什么是转置行列式转置行列式,就是将行列式的所有行与所有列进行互换位置。

    如下图的行列式 D 与行列式 DT,DT 就是行列式 D 的转置行列式:
    如上图所示,由 D 转换为 DT 的过程,即为行列式的转置。由 n 阶行列式的定义得知,其转置行列式可转换为:

    而在转置行列式 DT 中,它的 ( i , j ) 元 bij ,与原行列式 D 中的 aji 相等。所以上式又可转换为:

    在上一节中,我们介绍了定理 2 :

    可以看到,转置行列式与原行列式相等,即 DT = D。

    同时,由性质 1 可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,反之也是如此。

    性质2

    行列式性质:互换行列式的两行或两列,行列式变号(即改变行列式的正负号)。

    证:设行列式
    是由行列式 D 对换第 i,j 两行得到的,则在行列式 D中:
    • 其第 k 行(不是第 i,j行),akp = bkp(b表示 D 中的元素);
    • 当 k = i 或 j 时,aip=bjp,同样有 ajp= bip
    所以,有如下式子成立:
    上图中,其中 t 为排列 p1...pi...pj 到 pn 的逆序数,如果我们设 t1 为从 p1...pj...pi...pn 的逆序数为 t1 则会有如下式子成立:
    性质 2 的推论:如果行列式有两行或者两列完全相同,则此行列式等于 0。由性质 2 可得,若将这两行进行互换,两行列式会有 D = - D,而正负号相等的数只有 0。

    性质 3

    行列式性质:行列式的某一行(或列)中所有的元素都乘以同一个数 k,就等于是用 k 乘以此行列式。

    证明此性质很简单,当行列式中的某一行或者某一列中所有元素都乘以一个数时,当使用对角线法则计算行列式时,其中每个分式子都会与这个数做乘法运算,当我们把 k 从所有的分式子提取出来时,就相当于是 k 乘以此行列式。
    性质 3 的推论:行列式中某一行(或列)的所有元素的公因子中可以提到行列式记号的外面。

    性质 4

    行列式性质:行列式中如果有两行(或两列)元素成比例,则此行列式等于0。

    证明此性质,需借助性质 3 和性质 2 的推论。

    如果行列式中存在两行(或两列)成比例,我们可以将公因子提取出来,使两行(或两列)的值对应相等,而存在两行(或两列)值对应相等的行列式,其值为 0。

    性质 5

    行列式性质:若行列式中的某一列(行)的元素都是两数之和,例如第 i 列的元素都是两数之和:
    则行列式 D 等于下列两个行列式之和:
    此性质的证明也可以使用对角线法则,行列式 D 展开后的每一项中都会包含有 a + c,所以分解后,就变成两行列式的和。

    性质 6

    行列式性质:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数,然后在加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。

    证明此性质需要用到性质 5 、性质 3 和性质 2 的推论。

    当把行列式的某一个列(或行,用 m 表示)的各元素 a 乘以同一数 k,然后加到另一列(或行,用 n 表示)中时,可以先利用性质 5,将合成后的行列式改为原行列式与一个新行列式的和。

    而在新行列式中,第 n 行可以提取出一个公因子 k ,使得此列(或行)与第 m 列中的元素对应相等,而根据性质 2 的推论,新行列式的值为 0。

    所以,把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数,然后在加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变,即行列式不变。