行列式的性质

理解并记住行列式的性质，有助于大家更快的解决行列式计算的问题，提高解题速度。

性质 1

行列式性质：行列式与它的转置行列式相等。

在证明性质 1 之前，我们首先需要了解什么是转置行列式。转置行列式，就是将行列式的所有行与所有列进行互换位置。

如下图的行列式 D 与行列式 _DT，_DT 就是行列式 D 的转置行列式： 如上图所示，由 D 转换为 _DT 的过程，即为行列式的转置。由 n 阶行列式的定义得知，其转置行列式可转换为：

而在转置行列式 _DT 中，它的 ( i , j ) 元 b_ij ，与原行列式 D 中的 a_ji 相等。所以上式又可转换为： 在上一节中，我们介绍了定理 2 ： 可以看到，转置行列式与原行列式相等，即 _DT = D。

同时，由性质 1 可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之也是如此。

性质2

行列式性质：互换行列式的两行或两列，行列式变号（即改变行列式的正负号）。

证：设行列式 是由行列式 D 对换第 i，j 两行得到的，则在行列式 D₁ 中：

• 其第 k 行（不是第 i，j行），a_kp = b_kp（b表示 D 中的元素）；
• 当 k = i 或 j 时，a_ip=b_jp，同样有 a_jp= b_ip；

所以，有如下式子成立： 上图中，其中 t 为排列 p₁...pi...p_j 到 p_n 的逆序数，如果我们设 t₁ 为从 p₁...p_j...p_i...p_n 的逆序数为 t₁ 则会有如下式子成立：

性质 2 的推论：如果行列式有两行或者两列完全相同，则此行列式等于 0。由性质 2 可得，若将这两行进行互换，两行列式会有 D = - D，而正负号相等的数只有 0。

性质 3

行列式性质：行列式的某一行（或列）中所有的元素都乘以同一个数 k，就等于是用 k 乘以此行列式。

证明此性质很简单，当行列式中的某一行或者某一列中所有元素都乘以一个数时，当使用对角线法则计算行列式时，其中每个分式子都会与这个数做乘法运算，当我们把 k 从所有的分式子提取出来时，就相当于是 k 乘以此行列式。

性质 3 的推论：行列式中某一行（或列）的所有元素的公因子中可以提到行列式记号的外面。

性质 4

行列式性质：行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于0。

证明此性质，需借助性质 3 和性质 2 的推论。

如果行列式中存在两行（或两列）成比例，我们可以将公因子提取出来，使两行（或两列）的值对应相等，而存在两行（或两列）值对应相等的行列式，其值为 0。

性质 5

行列式性质：若行列式中的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第 i 列的元素都是两数之和： 则行列式 D 等于下列两个行列式之和： 此性质的证明也可以使用对角线法则，行列式 D 展开后的每一项中都会包含有 a + c，所以分解后，就变成两行列式的和。

性质 6

行列式性质：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后在加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

证明此性质需要用到性质 5 、性质 3 和性质 2 的推论。

当把行列式的某一个列（或行，用 m 表示）的各元素 a 乘以同一数 k，然后加到另一列（或行，用 n 表示）中时，可以先利用性质 5，将合成后的行列式改为原行列式与一个新行列式的和。

而在新行列式中，第 n 行可以提取出一个公因子 k ，使得此列（或行）与第 m 列中的元素对应相等，而根据性质 2 的推论，新行列式的值为 0。

所以，把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后在加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变，即行列式不变。