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    矩阵定义及其简单应用

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    由 m*n 个数,如下图排列,构成的 m 行 n 列的数表,就是 m 行 n 列 矩阵,简称:m*n 矩阵


     
    为了表示这些数表示一个整体,在表示矩阵的时候,总是在两端加一个括弧,并用大写字母表示它,如下图所示:


    其中,矩阵中这 m*n 个数称为矩阵 A 的元素(简称“元”)元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵
    一般情况下,如果不特殊声明矩阵为复矩阵,默认矩阵为实矩阵。
    同时,根据矩阵中包含元素的个数不同,对矩阵还附有不同的称谓:
    • 若矩阵的行数和列数都等于 n 的矩阵,此矩阵被称为 n 阶矩阵(或 n 阶方阵);
    • 若矩阵中只含有一行元素,则称此矩阵为行矩阵(或行向量);
    • 若矩阵中只含有一列元素,则称此矩阵为为列矩阵(或列向量);
    • 若两个矩阵具有相同的行数和列数,则称它们为同型矩阵。
    • 元素个数为 0 的矩阵,被称为零矩阵;
    若两矩阵不仅为同型矩阵,并且它们各自对应的元素也相等,则称矩阵 A 与矩阵B 相等
    注意:不同型的零矩阵是不同的。

    单位矩阵和对角矩阵


    如上图(a)所示,对于 n 阶方阵来说,若其主对角线上的元素都是 1,其它元素都为 0,则此方阵为单位矩阵(简称单位阵)

    而如上图(b)所示,其 n 阶方阵非主对角线上的元素都是 0,而对主对角线上的元素值不作要求,则此类方阵称为对角矩阵,简称对角阵
    对于矩阵来说,其主对角线的定义同行列式类似,都指的是从矩阵的左上角到右下角的直线为主对角线

    矩阵的简单应用

    实例一

    某厂向三个商店发送四种产品的数量,可用矩阵表示为:
    其中,aij 表示为向第 i 店发送第 j 种产品的数量。

    同时,这四种产品的单价及单件重量也可列成如下矩阵:

    其中,bi1 为第 i 种产品的单价,bi2 为第 i 种产品的单件重量。

    实例二

    若 n 个变量 x1,x2,x3,…,xn 与 m 个变量 y1,y2,…,ym 之间的关系式为:


     
    此关系式表示从变量 x1,x2,…,xn 到变量 y1,y2,…,ym线性变换,其中 aij 为常数,若将线性变换中的系数 aij 提取出来,可构成一个具有 m 行 n 列的矩阵

    对于给定的线性变换方程组,它的系数所构成的矩阵也就可以唯一确定;反之,如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵,那么线性变换的方程组肯定可以确定。所以,从此实例可以分析出,线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系,每个线性变换方程组都唯一对应一个矩阵。
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