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    方阵的行列式及其性质,伴随矩阵

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    由 n 阶方阵 A 中的元素所构成的行列式(各元素的相对位置不变),称为方阵 A 的行列式,记为 |A|。
    注意:矩阵行列式完全是两个不同的概念。拿 n 阶矩阵(也就是 n 阶方阵)来说,它是一个数表,这个数表是由 n2 的数按照一定方式排列构成的;而 n 阶行列式是一个数,只不过这个数需要将 n2 个数按照某个运算法则求出。
    n 阶方阵 A 的行列式 |A| 满足以下性质,其中 A、B为 n 阶方阵,λ表示某个实数:
    1. |AT| = |A|;
    2. |λA| = λn|A|;
    3. |AB| = |A||B|;
    第 1 条性质证明:虽然矩阵 A 与 AT 不同,但是由 n2 个元素所组成的行列式的值时相同。

    第 2 条性质证明:λA,也就是 λ 同矩阵中每个元素相乘,而该矩阵的行列式展开后的每项式子中都含有相同的 λn,将其提取出来后就变为等号右式。

    这里,重点证明第 3 条性质:设矩阵 A=(aij),B=(bij),与此同时,行列式 D 如下图所示:


     
    将行列式 D 展开可得:D = |A||B|。

    接下来,我们对 D 做一些变换:在 D 中分别将 bij 分别乘以第 i 列元素,并将所得结果都加到 n+j 列上。此时可以看到行列式 D 变为如下所示的行列式:


     
    其中的 C 各个元素为:Cij = b1jai1 + b2jai2 +…+bnjain,即 C = AB。

    然后,我们将行列式 D 中的第 j 行与 n +j 行进行交换,可得:


     
    将行列式 D 展开后,可得: D = (-1)n|-E||C|=(-1)n(-1)n|C|=|AB|,在结合之前得到的 D=|A||B|,可得 |AB|=|A||B|

    伴随矩阵

    行列式 |A| 中各个元素的代数余子式所构成的矩阵,即被称为矩阵 A 的伴随矩阵,简称“伴随阵”,记作 A*。

    例如,若行列式 A 中各个元素的代数余子式用 Aij 表示,则矩阵 A 的伴随矩阵 A* 如下图所示:


    矩阵 A 及其伴随矩阵 A* 遵循此性质:AA* = A*A = |A|E,其中 E 为单位矩阵
    关于此性质的证明,这里不做阐述,记住会使用即可。
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