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    矩阵的逆,逆矩阵,矩阵求逆

    求矩阵的逆矩阵,简单地理解:对一个 n 阶方阵 A ,如果存在另一个 n 阶方阵 B,它们满足:AB = BA = E(其中 E 为单位矩阵),那么两矩阵互为逆矩阵。换句话说,A 的逆矩阵为 B ,B 的逆矩阵为 A。

    矩阵的逆,有时也简称逆阵。比如说,矩阵 A、B 互为逆矩阵,则 B 为矩阵 A 的逆阵;反过来也是如此。

    如果矩阵 A 是可逆的,那么矩阵 A 有且只有一个逆阵。这是为什么呢?

    假设,我们认定矩阵 A 的逆矩阵有多个,设矩阵 B、C 都是A 的逆阵,那么经过一系列的推理:B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,可以判断出:B = C。所以我们之前的假设不成立,换句话说,矩阵 A 的逆阵是唯一的。

    求逆阵的公式

    若矩阵 A 存在逆阵,则用 A-1 来表示它的逆阵。也就是说,如果矩阵 B 是矩阵 A 的逆阵,则 B = A-1

    判断一个矩阵 A 是否可逆(存在逆矩阵)的方法是:若 |A| 不为 0 ,则矩阵 A 一定可逆(存在逆矩阵)

    求矩阵 A 的逆矩阵的方法是:
    其中, A* 指的是矩阵 A 的伴随矩阵需要注意的是:A、B互为逆阵的前提是 AB = BA = E。当 A、B 矩阵只满足 AB = E ,而不满足 BA = E 时,这种情况下,只能说明 B 为 A 的逆阵;反之,如果A、B 矩阵只满足 BA = E ,而不满足 AB = E,则只能说明 A 为B 的逆阵。

    方阵的逆阵的运算规律

    若一个方阵 A ,其有逆阵 A-1,则有以下运算规律成立:
    • 若 A 可逆,则 A-1 也是可逆的,且 (A-1)-1 = A;
    • 若 A 可逆,另有实数 λ 不等于 0,则 λA 也可逆,且有如下公式成立:
    • 若 A、B 为同阶矩阵且都可逆,则 AB 也是可逆的,且有 (AB)-1 = B-1A-1 成立;
    • 若 A 可逆,则 AT (A 的转置)也可逆,则有 (AT)-1 = (A-1)T
    其中,第 3 条规律可通过 (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E 可得出该规律成立;同样,第 4 条可通过 AT(A-1)T = (A-1A)T = ET = E 得出该规律成立。

    实例讲解

    求二阶行列式 A 的逆阵:
    解:
    首先求 |A| = ad - bc,由于该值不为 0 ,所以该矩阵可逆。

    接下来,求该矩阵的伴随矩阵 A*
    由此,可计算出矩阵 A 的逆阵为: