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    矩阵初等变换,矩阵的初等变换规则

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    矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆阵 及矩阵理论的探讨中都起重要的作用。

    为引进矩阵的初等变换,先来分析用消元法解线性方程组的例子。例如,求解下面的这个线性方程组:

    解:为消 x1 作准备:


     
    保留 1 式中的 x,,消去 2、3、4 式中的 x1


     
    保留 2 式中的 x2 并把它的系数变为 1,然后消去 3、4 式中的 x2,在此同时恰好把 x3 也消去:


     
    消去 x4 同时恰好把常数也消去,得到恒等式 0=0(式一):


     
    至此,消元完毕。
    如果常数项不能消去,就将得到矛盾方程 0 = 1,则说明方程组无解。
    式一是 4 个未知数 3 个有效方程的方程组,应有一个自由未知数,由于该方程组呈阶梯形,可把每个台阶的第一个未知数(即 x1,x2,x4 )选为非自由未知数,剩下的 x3 选为自由未知数。这样,就只需用“回代”的方法便能求出解:由 3 式得 x4=-3;将 x4=-3 代入 2 式,得 x2=x3+3;以 x4=-3,x2=x3+3 代入 1 式,得 x1=x3+4。于是解得:


     
    其中 x3 可任意取值。或令 x3=c,方程组的解可记作:


     
    其中 c 可以为任意常数。

    在上述消元过程中,始终把方程组看作一个整体,即不是着眼于某一个方程 的变形,而是着眼于整个方程组变成另一个方程组。其中用到三种变换,即:
    1. 交换方程次序(第 i 个式子与第 j 个式子相互替换)
    2. 以不等于 0 的数乘某个方程
    3. —个方程加上另一个方程的 k 倍。
    由于这三种变换都是可逆的,即:


     
    因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的,这三种变换都是方程组的同解变换。

    在上述变换过程中,实际上只对方程组的系数和常数进行运算,未知数并未参与运算。因此,若记原方程组的增广矩阵为:


     
    那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B 的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等行变换
    1. 对调两行(对调 i、j 两行,记作 ri<->rj);
    2. 以非零数 k 乘某一行中的所有元素(第 i 行乘 k,记作 ri*k);
    3. 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri+krj)。
    把上述定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把 r 换成 c)。

    矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换。

    显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换。如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 行等价;如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 列等价;如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 等价。

    性质

    若假设 A 与 B 为 m*n 阶矩阵,则矩阵的初等变换具有如下的性质:

    • A 与 B 进行初等行变换的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P,使 PA=B;
    • A 与 B 进行初等列变换的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q,使 AQ=B;
    • A 与 B 进行初等变换的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 以及 n 阶可逆矩阵 Q,使 PAQ = B。
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