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    矩阵的秩,矩阵求秩

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    前面讲到,矩阵经过一系列的初等变换可得到一个等价的标准型矩阵,如下图所示:


     
    其中,数 r 是 A 的行阶梯形中非零行的行数,这个数就是矩阵 A 的秩。但由于这个数的惟一性尚未证明,因此下面用另一种说法给出矩阵的秩的定义。

    在 m*n 矩阵 A 中,任取 k 行与 k 列,位于这些行列交叉处的 K2 个元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式.

    矩阵 A 的 k 阶子式的个数为:


    设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D,且所有 r+1 阶子式(如果存在的话)全等于 0,那么 D 称为矩阵 A 的最髙阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A)。并规定零矩阵的秩等于 0。

    根据行列式的性质,在 A 中当所有 r+1 阶子式全等于 0 时,所有高于 r+1 阶的子式也全等于 0,因此把 r 阶非零子式称为最高阶非零子式,而 A 的秩 R(A) 就是 A 的非零子式的最髙阶数.

    由于 R(A) 是 A 的非零子式的最髙阶数,因此,若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0,则 R(A)≥s ;若 A 中所有t阶子式全为 0,则 R(A)<t。

    显然,若 A 为 m*n 矩阵,则 0≤R(A)≤min|m,n|。

    由于行列式与其转置行列式相等,因此 AT 的子式与 A 的子式对应相等,从而 R(AT)=R(A)。

    对于 n 阶矩阵 A,由于 A 的 n 阶子式只有一个 |A|,故当 |A| 不为 0 时,R(A)=n,当 |A|=0 时 R(A)<n。可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。因此,可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵

    但是,对于一般矩阵,当行数和列数较高时,按上面的方法求秩很麻烦。对于行阶梯形矩阵来说,它的秩就等于非 0 行的行数,一看便知不需要计算。因此,只需将初等变换变换成行阶梯矩阵,即可直接获得此矩阵的秩。

    例如,求下列矩阵 A 和 B 的秩。


    解:在 A 中,容易看出一个 2 阶子式:


     
    A 的 3 阶子式只有一个 |A|,经计算 |A|=0,因此 R(A)=2。

    B 是一个行阶梯形矩阵,其非 0 行有 3 行,即知 B 的所有 4 阶子式全为0,而以三个非 0 行的第一个非 0 元为对角元的 3 阶行列式为:


     
    此行列式为上三角行列式,它不等于 0,因此 R(B)=3。
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