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    向量组的线性相关性

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    向量组的线性相关性是这样的,给定向量组 A:a1,a2,...,am,如果存在不全为零的数 k1,k2,…,km,使:


     
    成立,则称向量组 A 是线性相关的,否则是线性无关的。

    通常,说向量组 a1,a2,…,am 线性相关,通常是指 m>2 的情形,但也适用于 m=1 的情形。当 m=1 时,向量组只含一个向量 a,当 a=0 时是线性相关的,a≠0 时则线性无关。对于含 2 个向量 a1,a2 的向量组,线性相关的充分必要条件是 a1,a2 的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线。3 个向量线性相关的几何意义是三向量共面。

    向量组 A:a1,a2,…,am(m>2)线性相关,也就是在向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示。这是因为,如果向量组 A 线性相关,则有不全为 0 的数 k1,k2,…,km,使 k1a1+k2a2+…+kmam=0,因 k1,k2,…,km 不全为 0,不妨设 k1≠0,于是便有:


    即 a1 能由 a2,•••,am 线性表示。

    线性方程组的线性相关性

    向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方程组(各 个方程)是线性相关的;当方程组中没有多余方程,就称该方程组(各个方程)线性无关。

    向量组 A:a1,a2,•••,am,构成矩阵 A=(a1,a2,…,am),向量组 A 线性相关,就相当于齐次线性方程组:


     
    有非零解。结合前面关于矩阵的秩的知识,向量组 a1,a2,…,am 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A=(a1,a2,…,am) 的秩小于向量个数 m;向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m。

    【例1】已知:


     
    试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组 a1,a2 的线性相关性。

    解:对矩阵(a1,a2,a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,即可同时看出矩阵(a1,a2,a3)及(a1,a2)的秩,结合所学知识可得出:


     
    可见 R(a1,a2,a3)=2,故向量组 a1,a2,a3 线性相关;同时可见及 R(a1,a2)=2,故向量组 a1,a2 线性无关。

    线性相关性是向量组的一个重要性质,下面介绍与之有关的一些简单的结论:
    • 若向量组 A:a1,a2,...,am 线性相关,则向量组 B:a1,a2,...,am,am+1也线性相关。反言之,若向量组B线性无关,则向量组 A 也线性无关。
    记 A=(a1,a2,...,am),B=(a1,a2,...,am,am+1),有 R(B)≤R(A)+1。因向量组 A 线性相关,故有 R(A)<m,从而 R(B)≤R(A)+1<m+1,结合以上知识可知向量组 B 线性相关。
    • m 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。特别地,n+1 个 n 维向量一定线性相关。
    m 个 n 维向量 a1,a2,...,am构成矩阵 An*m=(a1,a2,...,am),有 R(A)≤n。当n<m时,有 R(A)≤m,所以 m 个向量 a1,a2,...,am 线性相关。
    • 设向量组 A:a1,a2,...,am 线性无关,而向量组 B:a1,a2,...,am,b 线性相关,则向量 b 必能由向量 A 线性表示,且表示式是惟一的。
    记 A=(a1,a2,...,am),B=(a1,a2,...,am,b),有 R(A)≤R(B)。因 A 组线性无关,有 R(A)=m;因B组线性相关,有 R(B)<m+1。所以 m≤R(B)<m+1,即有 R(B)=m。
    由 R(A)=R(B)=m 可知,方程组:


     
    有惟一解,即向量 b 能由向量组 A 线性表示,且表示式是惟一的。
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