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    向量组的秩

    在上两节的讨论中,向量组只局限于含有限个向量。当向量组含有无限多个向量时,例如:


     


     
    就是这样的向量组。因为它们都是二维向量组,由此可以断定,向量组 A 或向量组 B 中任意三个向量都是线性相关的;但进一步从线性无关部分组所含向量的个数来看就不一样了:向量组 B 中有含两个向量的线性无关部分组,如:


     
    但向量组 A 中任何含两个向量的部分组都是线性相关的,换句话说,A 组中只有最多含一个向量的线性无关部分组,而 B 组中却有最多含两个向量的线性无关部分组。

    现在,若将向量组与矩阵相对应,与此同时,把含最多个向量的线性无关部分组与最高阶的非零子式相对应,则可以引出向量组的秩的概念。

    【定理 1】设有向量组 A,如果在 A 中能选出 r 个向量 a1,a2,…,ar,满足:
    1. 向量组 A0:a1,a2,…,ar 线性无关;
    2. 向量组 A 中任意 r+1 个向量(如果 A 中有 r+1 个向量的话)都线性和关;

    那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组),最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩,记作 RA

    其中,只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为 0。

    根据定理 1,本节一开始给出的向量组 A 的秩 RA=1,向量组 B 的秩 RB=2。显然,两者的最大无关组都不惟一(甚至都有无限多个)。

    若向量组 A 线性无关,则 A 自身就是它的最大无关组,而其秩就等于它所含向量的个数。

    向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的。这是因为 A0 组是 A 组的一个部分组,故 A0 组总能由 A 组线性表示(A0 中每个向量都能由 A 组表示);而由定理 1 的条件 2 知,对于 A 中任一向量 a,r+1 个向量 a1,…,ar,a 线性相关,而 a1,…,ar 线性无关。由此可知,a 能由 a1,…,ar 线性表示,即 A 组能由 A0 组线性表示。所以 A 组与 A0 组等价。

    n 维向量组 A 可能含有许多个甚至无限多个向量,但 A0 至多含 n 个向量。用 A0 来“代表” A,就把 A 组的问题转化为相应的 A 组的问题了。

    不仅如此,上述结论的逆命题也是成立的,即能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组。

    【定理 1 的推论】设向量组 A0:a1,a2,…,ar 是向量组 A 的一个部分组,且满足:
    1. 向量组 A 线性无关;
    2. 向量组 A 的任一向量都能由向量组线性表示。

    则向量组 A0 便是向量组 A 的一个最大无关组。

    【例 1】假设将全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn,求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩。

    解:前面章节中,我们证明了 n 维单位坐标向量构成的向量组 E:e1,e2,…,en 是线性无关的,因此,Rn 中的任意 n+1 个向量都线性相关,向量组 E 是 Rn 的一个最大无关组,且 Rn 的秩等于 n。

    Rn 的最大无关组很多,任何 n 个线性无关的 n 维向量都是 Rn 的最大无关组。

    对于只含有限个 n 维向量的向量组 A:a1,a2,…,am,它可以构成矩阵 A=(a1,a2,…,ar),把定理 1 与矩阵的最高阶非零子式及矩阵的秩的定义作比较,可得向量组 A 的秩就等于矩阵 A 的秩。

    【定理 2】矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩。

    定理 2 可这样证明:设 A=(a1,a2,…,am),R(A)=r,并设 r 阶子式 Dr≠0。由 Dr≠0 知 Dr 所在的 r 列构成的 n*r 矩阵的秩为 r,故此 r 列线性无关;又由 A 中所有 r+1 阶子式均为零,知 A 中任意 r+1 个列向量构成的 nx(r+l) 矩阵的秩 < r+l,故此 r+1 列线性相关。因此 Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组,所以列向量组的秩等于 r。

    类似也可证矩阵 A 的行向量组的秩也等于 R(A)。

    今后向量组 a1,a2,…,am 的秩也记作 R(a1,a2,…,am)。

    从上述证明中可见:若 Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式,则 Dr 所在的 r 列即是 A 的列向量组的一个最大无关组,Dr 所在的 r 行即是 A 的行向量组的一个最大无关组。

    【例 2】设矩阵 A 为:


     
    求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。

    解:对 A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵:


    由此可知,R(A)=3,故列向量组的最大无关组含 3 个向量。而三个非零行的首非零元在 1,2,4 三列,故 a1,a2,a4 为列向量组的一个最大无关组。

    为把 a3,a5 用 a1,a2,a4 线性表示,把 A 再变成行最简形矩阵:


     
    把上列行最简形矩阵记作 B=(b1,b2,b3,b4,b5),由于方程 Ax=0 与 Bx=0 同解,即方程:


     
    与:


     
    同解,因此向量 a1,a2,a3,a4,a5 之间的线性关系与向量 b1,b2,b3,b4,b5 之间的线性关系是相同的。现在



    因此:




     
    本例的解法表明:如果矩阵 Amxn 与 Blxn 的行向量组等价(这时齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 可互推),则方程 Ax=0 与 Bx=0 同解,从而 A 的列向量组各向量之间与 B 的列向量组各向量之间有相同的线性关系。如果 B 是一个行最简形矩阵,则容易看出 B 的列向量组各向量之间的线性关系,从而也就得到 A 的列向量组各向量之间的线性关系(一个向量组的这种线性关系一般很多,但只要求出这个向量组的最大无关组及不属于最大无关组的向量用最大无义组线性表示的表示式,有了这些,就能推知其余的线性关系)。

    根据向量组的秩的定义以及定理 2,前面章节的定理中出现的矩阵的秩都可改为向量组的秩。