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    线性方程组的解的结构

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    前面章节中,我们巳经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法,并建立了 2 个重要定理,即:
    1. n 个未知数的齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A)<n。
    2. n 个未知数的非齐次线性方程组 AX=b 有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B 的秩,且当 R(A)=R(B)=n 时方程组有惟一解,当 R(A)=R(B)=r<n 时方程组有无限多个解。
    下面我们用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组的解。先讨论齐次线性方程组。

    齐次线性方程组解的结构

    设有齐次线性方程组(式 1)


     
    记:


     
    则方程组 1 可写成向量方程(式 2)


     
    若 x111,x221,...,xnn1 为方程组 1 的解,则:


     
    称为方程组 1 的解向量,它也就是向量方程 2 的解。

    根据向量方程 2,我们来讨论解向量的性质。

    性质 1 若 x=ξ1,x=ξ2 为向量方程 2 的解,则 x=ξ12 也是向量方程 2 的解。

    证:只要验证 x=ξ12 满足方程 2:


     
    性质 2】 若 x=ξ1 为向量方程 2 的解,k 为实数,则 x=kξ1 也是向量方程 2 的解。

    证:只要验证 x=kξ1 满足向量方程 2:


     
    把方程 2 的全体解所组成的集合记作 S,如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S01,ξ2,…,ξl,那么方程 2 的任一解都可由最大无关组 S0 线性表示;另一方面,由上述性质 1、2 可知,最大无关组 S0 的任何线性组合:


     
    都记方程 2 的解,因此上式便是方程 2 的通解。

    齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性力程组的基础解系由上面的讨论可知,要求齐次线性方程组的通解,只需求出它的基础解系。

    前面我们用初等变换的方法求线性方程组的通解,下面我们用同一方法来求齐次线性方程组的基础解系。

    设方程组 1 的系数矩阵 A 的秩为 r,并不妨设 A 的前 r 个列向线性无关,于是 A 的行最简形矩阵为:


     
    与 B 对应,即有方程组(式 3)


     
    把 xr+1,…,xn 作为自由未知数,并令它们依次等于 c1,…,cn-r,可得方程组 1 的通解:


     
    把上式记作:


     
    可知解集 S 中的任一向量 x 能由 ξ1,ξ2,…,ξn-r 线性表示,又因为矩阵(ξ1,ξ2,…,ξn-r)中有 n-r 阶子式 |En-r|≠0,故 R(ξ1,ξ2,…,ξn-r)=n-r,所以 ξ1,ξ2,…,ξn-r 线性无关。根据最大无关组的等价定义,即知 ξ1,ξ2,…,ξn-r 是解集 S 的最大无关组,即 ξ1,ξ2,…,ξn-r 是方程组 1 的基础解系。

    在上面的讨论中,我们先求出齐次线性方程组的通解,再从通解求得基础解系。其实我们也可先求基础解系,再写出通解。这只需在得到方程组 3 以后,令 自由未知数 xr+1,xr+2,…,xn 取下列 n-r 组数:


     

    由方程组 3 依次可得:


     
    合起来便得基础解系:


     
    依据以上的讨论,还可推得一定理(定理1):设 m*n 矩阵 A 的秩 R(A)=r,则 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的解集 S 的秩 RS=n-r。

    当 R(A)=n 时,方程 1 只有零解,没有基础解系(此时解集 S 只含一个零向量);当 R(A)=r<n 时,由定理 1 可知方程组 1 的基础解系含 n-r 个向量。因此,由最大无关组的性质可知,方程组 1 的任何 n-r 个线性无关的解都可构成它的基础解系。并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是惟一的,它的通解的形式也不是惟一的。

    【例 1】求齐次线性方程组:


    的基础解系与通解。

    解:对系数矩阵 A 作初等行变换变为行最简形矩阵,有:


     
    便得:


     
    令:


     
    则对应有:


     
    即得基础解系:

    非齐次线性方程组解的结构

    设有非齐次线性方程组(式 4)


     
    它也可写作向量方程(式 5)


     
    向量方程 5 的解也就是方程组 4 的解向量,它具有这样的性质:

    【性质 3】即设 x=η1 及 x=η2 都是向量方程 5 的解,则 x=η12 为对应的齐次线性方程组(式6)


     
    的解。

    证:


     
    即 x=η12,满足方程 6。

    【性质 4】设 x=η 是方程 5 的解,x=ξ 是方程 6 的解,则 x=ξ+η 仍是方程 5 的解。

    证:


     
    即 x=ξ+η 满足方程 5。

    于是,如果求得方程 5 的一个解 η*(称为特解),那么方程 5 的通解为:


     
    其中 ξ1,ξ2,…,ξn-r 是方程的基础解系。

    事实上,由性质 4 知上式右端向量总是方程 5 的解;反过来,设 x0 为方程 5 的任一解。由性质 3 可知,x0* 是方程 6 的解,从而可由其基础解系线性表示为:


     
    即:


     
    至此我们已得到了非齐次线性方程的解的结构,即非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解。
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