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向量空间与子空间（详解+例题）
前面章节中，我们把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 叫做 n 维向量空间。下面介绍向量空间的有关知识。
【定义 1】设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
所谓封闭，是指在集合 V 中可以进行向量的加法及数乘两种运算。具体地说就是，若 a∈V，b∈V 则 a+b∈V；若 a∈V，λ∈V，则 λa∈V
比如说， 3 维向量的全体 R3 是一个向量空间。因为任意两个 3 维向量之和仍是 3 维向量，数 λ 乘 3 维向量也仍是 3 维向量，它们都属于 R3。我们可以用有向线段形象地表示 3 维向量，从而向量空间 R3 可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。
由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应；因此 R3 也可看作取定坐标原点的点空间。
类似地，n 维向量的全体 Rn 也是一个向量空间。不过当 n>3 时，它没有直观的几何意义。
【例 1】集合：
是一个向量空间。因为若 a=(0，a2，•••，an)T∈V，b=(0，b2，•••，bn)T∈V，λ∈R，则：
【例 2】集合：
不是向量空间，因为若 a=(1，a2，•••，an)T∈V，则：
【例 3】n 元齐次线性方程组的解集：
是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）。因为由齐次线性方程组的解的性质，即知其解集 S 对向量运算封闭。
【例 4】非齐次线性方程组的解集：
不是向量空间。因为当 S 为空集时，S 不是向量空间；当 S 非空时，若 η∈S，则 A(2η)=2b≠b，故 2η∉S。
【例 5】设 a，b 为两个已知的 n 维向量，集合：
是一个向量空间.因为若 x1=λ1a+μ1b，x2=λ2a+μ2b，k∈R，则有：
这个向量空间称为由向量 a，b 所生成的向量空间。
一般地，由向量组 a1，a2，…，am 所生成的向量空间为：
例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V，总有 V⊆Rn，这样的向量空间总是 Rn 的子空间。据此可知，例 1、例 3、例 5中的向量空间均是 Rn 的子空间。
【定义 2】设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1，a2，…，ar∈V，且满足：
如果向量空间 V 没有基，那么 V 的维数为 0。0 维向量空间只含一个零向量 0。
若把向量空间 V 看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。
例如，由例 1 知，任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以是向量空间 Rn 的一个基，且由此可知 Rn 的维数为 n，所以我们把 Rn 称为 n 维向量空间。
又如，向量空间：
的一个基可取为 e2=(0,1，0，…，0)T，…，en=(0，…，0，1)T。并由此可知它是 n-1 维向量空间。
设由向量组 a1，a2，…，an 所生成的向量空间：
显然向量空间L与向量组 a1，a2，...，am 等价，所以向量组 a1，a2，...，am 的最大无关组就是 L 的一个基，向量组 a1，a2，...，am 的秩就是 L 的维数。
若向量组 a1，a2，...，ar 是向量空间 V 的一个基，则 V 可表示为：
即 V 是基所生成的向量空间，这就较清楚地显示出向量空间 V 的构造。
例如，齐次线性方程组的解空间 S={x|Ax=0}，若能找到解空间的一个基 ξ1，ξ2，…，,ξn-r，则解空间可表示为：
【定义 3】如果在向量空间 V 中取定一个基 a1，a2，…，ar，那么 V 中任一向量 x 可惟一地表示为：
数组 λ1，λ2，...，λr 称为向量 x 在基 a1，a2，…，ar 中的坐标。
特别地，在 n 维向量空间 Rn 中取单位坐标向量组 e1，e2，…，en 为基，则以 x1，x2，…，xn 为分量的向量 x，可表示为：
可见向量在基 e1，e2，…，en 中的坐标就是该向量的分量。因此 e1，e2，...，en 叫做 Rn 的自然基。
【例 6】在 R3 中取定一个基 a1，a2，a3，再取一个新基 b1，b2，b3，设 A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)。求用 a1，a2，a3 表示 b1，b2，b3 的表示式（基变换公式），并求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）。
解：因：
故：
即基变换公式为：
其中表示式的系数矩阵 P=A-1B 称为从旧基到新基的过渡矩阵。设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为 y1，y2，y3 和 z1，z2，z3，即：
故：
得：
即：
这就是从旧坐标到薪坐标的坐标变换公式。
【定义 1】设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
所谓封闭，是指在集合 V 中可以进行向量的加法及数乘两种运算。具体地说就是，若 a∈V，b∈V 则 a+b∈V；若 a∈V，λ∈V，则 λa∈V
比如说， 3 维向量的全体 R3 是一个向量空间。因为任意两个 3 维向量之和仍是 3 维向量，数 λ 乘 3 维向量也仍是 3 维向量，它们都属于 R3。我们可以用有向线段形象地表示 3 维向量，从而向量空间 R3 可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。
由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应；因此 R3 也可看作取定坐标原点的点空间。
类似地，n 维向量的全体 Rn 也是一个向量空间。不过当 n>3 时，它没有直观的几何意义。
【例 1】集合：
是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）。因为由齐次线性方程组的解的性质，即知其解集 S 对向量运算封闭。
【例 4】非齐次线性方程组的解集：
【例 5】设 a，b 为两个已知的 n 维向量，集合：
一般地，由向量组 a1，a2，…，am 所生成的向量空间为：
子空间
设有向量空间 V1 及 V2，若 V1⊆V2，就称 V1 是 V2 的子空间。例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V，总有 V⊆Rn，这样的向量空间总是 Rn 的子空间。据此可知，例 1、例 3、例 5中的向量空间均是 Rn 的子空间。
【定义 2】设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1，a2，…，ar∈V，且满足：
- a1，a2，...，ar 线性无关；
- V 中任一向量都可由 a1，a2，...，ar 线性表示；
如果向量空间 V 没有基，那么 V 的维数为 0。0 维向量空间只含一个零向量 0。
若把向量空间 V 看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩。
例如，由例 1 知，任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以是向量空间 Rn 的一个基，且由此可知 Rn 的维数为 n，所以我们把 Rn 称为 n 维向量空间。
又如，向量空间：
设由向量组 a1，a2，…，an 所生成的向量空间：
若向量组 a1，a2，...，ar 是向量空间 V 的一个基，则 V 可表示为：
例如，齐次线性方程组的解空间 S={x|Ax=0}，若能找到解空间的一个基 ξ1，ξ2，…，,ξn-r，则解空间可表示为：
特别地，在 n 维向量空间 Rn 中取单位坐标向量组 e1，e2，…，en 为基，则以 x1，x2，…，xn 为分量的向量 x，可表示为：
【例 6】在 R3 中取定一个基 a1，a2，a3，再取一个新基 b1，b2，b3，设 A=(a1，a2，a3)，B=(b1，b2，b3)。求用 a1，a2，a3 表示 b1，b2，b3 的表示式（基变换公式），并求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）。
解：因：