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    向量空间与子空间(详解+例题)

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    前面章节中,我们把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 叫做 n 维向量空间。下面介绍向量空间的有关知识。

    【定义 1】设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V 非空,且集合 V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合 V 为向量空间

    所谓封闭,是指在集合 V 中可以进行向量的加法及数乘两种运算。具体地说就是,若 a∈V,b∈V 则 a+b∈V;若 a∈V,λ∈V,则 λa∈V

    比如说, 3 维向量的全体 R3 是一个向量空间。因为任意两个 3 维向量之和仍是 3 维向量,数 λ 乘 3 维向量也仍是 3 维向量,它们都属于 R3。我们可以用有向线段形象地表示 3 维向量,从而向量空间 R3 可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。

    由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应;因此 R3 也可看作取定坐标原点的点空间。

    类似地,n 维向量的全体 Rn 也是一个向量空间。不过当 n>3 时,它没有直观的几何意义。

    【例 1】集合:


     
    是一个向量空间。因为若 a=(0,a2,•••,an)T∈V,b=(0,b2,•••,bn)T∈V,λ∈R,则:


     
    【例 2】集合:


     
    不是向量空间,因为若 a=(1,a2,•••,an)T∈V,则:


     
    【例 3】n 元齐次线性方程组的解集:


    是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)。因为由齐次线性方程组的解的性质,即知其解集 S 对向量运算封闭。

    【例 4】非齐次线性方程组的解集:


     
    不是向量空间。因为当 S 为空集时,S 不是向量空间;当 S 非空时,若 η∈S,则 A(2η)=2b≠b,故 2η∉S。

    【例 5】设 a,b 为两个已知的 n 维向量,集合:


     
    是一个向量空间.因为若 x11a+μ1b,x22a+μ2b,k∈R,则有:


     
    这个向量空间称为由向量 a,b 所生成的向量空间。

    一般地,由向量组 a1,a2,…,am 所生成的向量空间为:

    子空间

    设有向量空间 V1 及 V2,若 V1⊆V2,就称 V1 是 V2子空间
    例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V,总有 V⊆Rn,这样的向量空间总是 Rn 的子空间。据此可知,例 1、例 3、例 5中的向量空间均是 Rn 的子空间。

    【定义 2】设 V 为向量空间,如果 r 个向量 a1,a2,…,ar∈V,且满足:
    • a1,a2,...,ar 线性无关;
    • V 中任一向量都可由 a1,a2,...,ar 线性表示;
    那么,向量组 a1,a2,…,ar 就称为向量空间 V 的一个基,r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间。

    如果向量空间 V 没有基,那么 V 的维数为 0。0 维向量空间只含一个零向量 0。

    若把向量空间 V 看作向量组,则由最大无关组的等价定义可知,V 的基就是向量组的最大无关组,V 的维数就是向量组的秩。

    例如,由例 1 知,任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以是向量空间 Rn 的一个基,且由此可知 Rn 的维数为 n,所以我们把 Rn 称为 n 维向量空间。

    又如,向量空间:


     
    的一个基可取为 e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,…,0,1)T。并由此可知它是 n-1 维向量空间。

    设由向量组 a1,a2,…,an 所生成的向量空间:


     
    显然向量空间L与向量组 a1,a2,...,am 等价,所以向量组 a1,a2,...,am 的最大无关组就是 L 的一个基,向量组 a1,a2,...,am 的秩就是 L 的维数。

    若向量组 a1,a2,...,ar 是向量空间 V 的一个基,则 V 可表示为:


     
    即 V 是基所生成的向量空间,这就较清楚地显示出向量空间 V 的构造。

    例如,齐次线性方程组的解空间 S={x|Ax=0},若能找到解空间的一个基 ξ1,ξ2,…,,ξn-r,则解空间可表示为:


     
    【定义 3】如果在向量空间 V 中取定一个基 a1,a2,…,ar,那么 V 中任一向量 x 可惟一地表示为:


     
    数组 λ1,λ2,...,λr 称为向量 x 在基 a1,a2,…,ar 中的坐标。

    特别地,在 n 维向量空间 Rn 中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en 为基,则以 x1,x2,…,xn 为分量的向量 x,可表示为:


     
    可见向量在基 e1,e2,…,en 中的坐标就是该向量的分量。因此 e1,e2,...,en 叫做 Rn 的自然基。

    【例 6】在 R3 中取定一个基 a1,a2,a3,再取一个新基 b1,b2,b3,设 A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3)。求用 a1,a2,a3 表示 b1,b2,b3 的表示式(基变换公式),并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)。

    解:因:


     
    故:


     
    即基变换公式为:


     
    其中表示式的系数矩阵 P=A-1B 称为从旧基到新基的过渡矩阵。设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为 y1,y2,y3 和 z1,z2,z3,即:


     
    故:


     
    得:


     
    即:


     
    这就是从旧坐标到薪坐标的坐标变换公式。
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