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    向量组及其线性组合

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    前面章节中,我们已经介绍过向量的概念,现再叙述如下。

    n 个有次序的数 a1,a2,…,an 所组成的数组称为 n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。

    分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量。通常,除特别指明者外,讨论的都是实向量。

    n 维向量可写成一行,也可写成一列,分别称为行向量列向量,也就是行矩阵和列矩阵。与此同时,规定行向量与列向量都按矩阵的运箅规则进行运算。因此,n 维列向量:


     
    与 n 维行向量:


     
    可以看做是两个不同的向量。

    通常情况下,列向量用小写字母 a,b,α,β 等表示,行向量则用 aT,bT,αT,βT 等表示。所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量。

    向量空间

    在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。在引进坐标系以后,这种向量就有了坐标表示式,即三个有次序的实数,也就是 3维向量。因此,当 n≤3 时,n 维向量可以把有向线段作为几何形象,但当 n>3 时,n 维向量就不再有这种几何形象,只是沿用一些几何术语罢了。

    几何中,“空间”通常是作为点的集合,即作为“空间”的元素是点,这样的空间叫做点空间。我们把 3 维向量的全体所组成的集合:


     
    叫做三维向量空间。在点空间取定坐标系以后,空间中的点 P(x,y,z)与 3维向量 r=(x,y,z)T 之间有一一对应的关系,因此,向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。

    在讨论向量的运算时,我们把向量看作有向线段;在讨论向量集时,则把向量 r 看作以 r 为向径的点 P,从而把点 P 的轨迹作为向量集的图形。例如点集:


     
    是一个平面(a,b,c不全为 0),于是向量集:


     
    也叫做向量空间 R3 中的平面,并把 Ⅱ 作为它的图形。类似地,n 维向量的全体所组成的集合:


     
    叫做 n维向量空间。n 维向量的集合:


     
    叫做 n 维向量空间 Rn 中的 n-1 维超平面。

    若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。

    例如一个 m*n 矩阵的全体列向量是一个含 n 个 m 维列向量的向量组,它的全体行向量是一个含 m 个 n 维行向量的向量组。又如线性方程 Am*nx=0 的全体解当 R(A)<n 时是一个含无限多个 n 维列向量的向量组。

    下面我们先讨论只含有限个向量的向量组,以后再把讨论的结果推广到含无限多个向量的向量组.

    矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组;反之,一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。含有限个向蛩的有序向量组可以与矩阵一一对应。

    给定向量组 A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,k2,...,km,表达式:


     
    称为向量组 A 的一个线性组合 k1,k2,...,kn 称为这个线性组合的系数。

    给定向量组 A:a1,a2,…,am 和向量 b,如果存在一组数 λ1,λ2,…,λm,使:


     
    则向量 b 是向量组 A 的线性组合,这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示。也就是方程组:


     
    有解。

    由此可以得出,向量 b 能由向量组 A:a1,a2,…,am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(a1,a2,…,am) 的秩等于矩阵 B=(a1,a2,...,am)的秩。

    设有两个向量组 A:a1,a2,…,am 及 B:b1,b2,...,bl,若 B 组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示,则称这两个向量组等价。

    设矩阵A与B行等价,即矩阵A经初等行变换变成矩阵 B,则 B 的每个行向量都是A的行向量组的线性组合,即 B 的行向量组能由 A 的行向量组线性表示。由于初等变换可逆,矩阵 B 亦可经初等行变换变为 A,从而 A 的行向量组也能由 B 的行向量组线性表示。于是 A 的行向量组与 B 的行向量组等价.

    类似可知,若矩阵 A 与 B 列等价,则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价.

    向量组的线性组合、线性表示及等价等概念,也可移用于线性方程组:对方程组 A 的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组 A 的一个线性组合;若方程组 B 的每个方程都是方程组 A 的线性组合,就称方程组 B 能由方程组 A 线性表示,这时方程组 A 的解一定是方程组 B 的解;若方程组 A 与方程组 B 能相互线性表示,就称这两个方程组可互推,可互推的线性方程组一定 同解。

    结合前面矩阵的秩的知识,向量组 B:b1,b2,...,bl 能由向量组 A:a1,a2,...,am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(a1,a2,...,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,...,am,b1,...,bl)的秩。

    不仅如此,B:b1,b2,...,bl能由向量组A:a1,a2,...,am线性表示,则R(b1,b2,...,bl)≤R(a1,a2,...,am
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